DECIMO

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CONCEPTO DE AMPLITUD, PERIODO Y DESFASE 

DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

GRAFICA DE LA FUNCION  Y= CSC X

Las características fundamentales de la función cosecante son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {k·π}   con   k∈Z .

2) Su recorrido es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X ni al eje Y.

4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    cosec (- x) = - cosec (x)

5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (- π/2 + 2·k·π, - 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (π/2 + 2·k·π, 1) con   k∈Z .

6) Es periódica de periodo   2π .

     cosec (x) = cosec (x + 2π)

7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = k·π     con k∈Z .

8) No está acotada.

GRAFICA DE LA FUNCION  Y= SEC X

Las características fundamentales de la función secante son las siguientes:

1) Su dominio es    R - {π/2 + k·π}   con   k∈Z .

2) Su recorrido es   R - (- 1, 1) .

3) No corta al eje X.

    Corta al eje Y en el punto   (0, 1) .

4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y.

    sec (- x) = sec (x)

5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma   (π + 2·k·π, - 1)  con   k∈Z .

    Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma   (2·k·π, 1) con   k∈Z .

6) Es periódica de periodo   2π .

     sec (x) = sec (x + 2π)

7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma    x = π/2 + k·π     con k∈Z .

8) No está acotada.

GRAFICA DE LA FUNCION Y= COT X

Las características fundamentales de la función cotangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

    No corta el eje Y .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    cotg (- x) = - cotg (x)

6) Es estrictamente decreciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     cotg (x) = cotg (x + π)

     La función   f(x) = cotg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.

GRAFICA DE LA FUNCION  Y= TAN X

Las características fundamentales de la función tangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π/2 + k·π   con   k∈Z} .

2) Es discontinua en los puntos   π/2 + k·π   con   k∈Z .

3) Su recorrido es   R .

4) Corta al eje X en los puntos   k·π   con   k∈Z .

    Corta al eje Y en el punto   (0, 0) .

5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.

    tg (- x) = - tg (x)

6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.

7) No tiene máximos ni mínimos.

8) Es periódica de periodo   π .

     tg (x) = tg (x + π)

     La función   f(x) = tg (k·x)   es periódica de periodo p = π/k

     Para   |k|>1   el periodo disminuye y para  0< |k| <1   el periodo aumenta.

9) Las rectas   y = π/2 + k·π   con   k∈Z   son asíntotas verticales.

10) No está acotada.

GRAFICA DE LA FUNCION Y= COS X

características de la función  y=cosx

1)      el dominio en la función y=cosx es el conjunto de los números reales.

2)      el rango de la función y=cosx es

3)      la función y=cosx es periódica y su periodo es 2π

4)      la función y=cosx es par puesto que cosx=(-x)

5)      la función y=cosx varia de la siguiente manera:

cuadrante	variación de x	comportamiento de y=cosx	valores
i	entre  0 y π/2	decreciente	entre  1 y 0
ii	entre π/2 y π	decreciente	entre 0 y -1
iii	entre π y 3π/2	creciente	entre -1 y 0
iv	entre 3π/2 y 2 π	creciente	entre 0 y 1

6)      y=cosx alcanza su valor máximo en 1

7)      y=cosx alcanza su valor mínimo en -1

8)      los ceros de la función y=cosx son los múltiplos impares de π/2

GRAFICA DE LA FUNCION Y= SENX

caracteriaticas de la funcion y=senx

1) la función seno esta definida por todos los números reales. luego el dominio de la función y=sen x SON los reales

2) el menor valor que toman las imágenes  es -1 y elmayor valor es 1.

3) la función y=senx es periódica y su periodo es 2π.

4) la función y=senx es impar puesto que sen (-x)= -senx. esto significa que la función y=senx es simétrica con respecto al origen de coordenadas del plano cartesiano

5) la función y=sen x varía de la siguiente manera:

cuadrante	variacion de x	comportamiento de y=senx	valores
i	entre 0 y  π/2	creciente	entre 0 y 1
ii	entre  π/2 y π	decreciente	entre 1 y 0
iii	entre π  y    3π/2	decreciente	entre 0 y -1
iv	entre 3π/2 y 2π	creciente	entre -1 y 0

6) y=sen x alcanza su valor máximo en 1  

7) y=sen x alcanza su valor mínimo en -1.

8) los ceros de la función y=sen x son los valores en los cuales la gráfica corta al eje x.

LINEAS TRIGONOMETRICAS 

Funciones Matemáticas

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

Ver: Relaciones y funciones

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

                          1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

                           1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

                           x -------->   x².

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x --------> x²      o     f(x) = x² .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3² = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a², etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 2

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

                                              x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X	Conjunto Y	Desarrollo
− 2	− 1	f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1	1	f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0	3	f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1	5	f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2	7	f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3	9	f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9
4	11	f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar una definición más formal:

Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.

Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota

         f : A -----> B  (o, usando X por A e Y por B    f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.

f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).

En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.

El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

Ejemplo 3

Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".

Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos  dominio y recorrido.

Veamos:

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).

Dominio = {1, 2, 3}                 Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos

A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}

Podemos establecer las relaciones

f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }

h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:

Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).

Ejemplo 4

Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},       Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}  y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".

Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

Veamos:

A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir,  son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).

Por ejemplo la función f(x) = 3x² – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función   tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.

Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función  , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que  x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.

Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:

Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

Si la función es un polinomio; una  función  de  la  forma   f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +...+ a_nxⁿ (donde a₀, a₁, a₂,..., a_n son constantes y nun entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.

El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.

Ejemplo

Identificar dominio y rango de la función  

Veamos:

Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales  x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.

El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.

Gráficas de funciones

Función constante

y = n

Función identidad

f(x) = x

Función lineal

y = mx

Función afín

y = mx + n

Función cuadrática

f(x) = ax² + bx +c

Función parte entera de x

f(x) = E (x)

Función mantisa

f(x) = x - E (x)

Función signo

f(x) = sgn(x)

    

Función racional

Función exponencial

Función logarítmica

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Función secante

f(x) = sec x

Función cosecante

f(x) = cosec x

FUNCIONES CRECIENTES, DECRECIENTES Y CONSTANTES

Información sobre la gráfica de una función

 

Función Creciente y Decreciente

ILUSTRACION

	x

Observa que parte de la gráfica se eleva, parte de la gráfica baja y parte de la gráfica es horizontal. En estos casos se dice que la gráfica crece, decrece o es constante.

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y  ( x₂, f(x₂) )  con

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	<	f(x2).
Prevalece la relación  <

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y  ( x₂, f(x₂) )  con

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	>	f(x2).
Cambia la relación de <  a  >

Una función f se dice que es constante si al considerar dos puntos de su gráfica, (x₁, f(x₁) ) y  ( x₂, f(x₂) )  con

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	=	f(x2).
Las y no cambian, son fijas

FUNCIÓN PAR E IMPAR

FUNCION PERIODICA

Problemas trigonometría, triángulo rectángulo, aplicaciones

Problemas trigonometría. Resolver lados y ángulos de un triángulo rectángulo aplicando la trigonometría, polígonos, triángulo isosceles.

Relación lados y ángulos de un triángulo rectángulo

Ejercicios triangulos rectangulos

REDUCCION DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE

Por favor ingresa al siguiente link y encontraras el tema reduccion de angulos al primer cuadrante

http://www.aritor.com/trigonometria/reduccion_angulos.html

Funciones trigonométricas de ángulos notables 30, 45 y 60

Escrito por Carlos · 38 Comments

En este articulo te explicaré mediante un texto y gráficos, todo lo referente a las funciones trigonometricas (también llamadas razones trigonométricas) de los angulos notables. Presta mucha atención y desconéctate de toda distracción para que le saques el mejor provecho a tu aprendizaje.

Bien, empecemos por definir lo que es un ángulo notable.

La palabra “notable” dentro de la trigonometría y la matemática en general se la utiliza para hacer referencia a procesos o valores bien definidos y que tiene un origen “notable” o muy particular. De ésta manera, se han definido a los ángulos notables como aquellos que tienen valores muy específicos y que aparecen con determinada frecuencia en la vida cotidiana. Éstos ángulos son los de 30°, 45° y 60°. Debo decir que, a pesar de no ser definidos como notables, los siguientes valores de ángulos también forman parte de la familia, desde mi punto de vista, me refiero a los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°, ya que son tan comunes en los procesos cotidianos, como los primeros que habí­a nombrado.

Listo. Han sido definidos los ángulos notables. Ahora centrémonos en las funciones trigonométricas definidas para éstos ángulos y en su origen.

Entonces, ¿cómo se originan las funciones trigonometricas de los angulos notables?

Para originar dos de los ángulos notables (30° y 60°), se empieza dibujando un triángulo equilátero con su respectiva altura en el vértice C hacia el lado AB, como muestra la figura. Se escoge un equilátero por tener sus lados iguales y sus ángulos de 60°, así­ ya tendremos el ángulo de 60°. Ahora veamos cómo surge el ángulo de 30° que también nos interesa.

El truco está en la altura CH, ya que ésta para el triángulo equilátero resulta también ser mediana, mediatriz y bisectriz. Asi que podrí­amos anotar lo siguiente para CH:

1. CH es mediatriz, por lo tanto divide al segmento AB en dos partes iguales (AH=HB=1) y además es perpendicular a AB.
2. CH es altura, de tal forma que parte del vértice C y forma dos triángulos rectángulos AHC y BHC.
3. CH es bisectriz, por lo tanto divide al ángulo C en dos iguales de 30° cada uno, siendo éste parte de nuestro objetivo.

Ahora es tiempo de separar nuestro nuevo triángulo que nos ayudará a determinar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30° y 60°. Para poder continuar, deberemos encontrar el valor de la altura CH que, según el Teorema de Pitágoras, serí­a raiz de 3.

Y las funciones trigonométricas de los ángulos notables son…

Bien, el triángulo de las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30° y 60°, está listo, y los valores de las funciones trigonométricas principales también.

Por último nos queda escribir los valores de las funciones trigonométricas recíprocas, es decir, de aquellas que son el “inverso multiplicativo” de las escritas anteriormente.

Con estos valores de las funciones trigonometricas o razones trigonometricas de los ángulos notables puedes empezar a solucionar triángulos cuyos ángulos internos sean siempre notables (30, 45 y 60 grados). Suerte en tus resoluciones.

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la

 hipotenusa. Se denota por sen B.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la 

hipotenusa. Se denota por cos B.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el

 cateto contiguo al ángulo. Se denota por tg B.

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

Razones trigonométricas en una circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el 

origen de coordenadas y su radio es la unidad.

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan 

cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.

El seno es la ordenada.

El coseno es la abscisa.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

 

Signo de las razones trigonométricas

Tabla de razones trigonométricas

Razones Trigonometricas Ángulos Cuadrantales - Ejercicios Resueltos

Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x.
Si el  lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal.  Observa la ilustración a continuación.

 Tabla Resumen de las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.

Ejercicios explicado paso a paso sobre ángulos cuadrantales.

CIRCULO UNITARIO O CIRCULO GONIOMETRICO- DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

PARTE 1

PARTE 2

Teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

Triángulos

	Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos
	Los tres ángulos siempre suman 180°

Equilátero, isósceles y escaleno

Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales.

Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales:

	Triángulo equilátero Tres lados iguales Tres ángulos iguales, todos 60°
	Triángulo isósceles Dos lados iguales Dos ángulos iguales
	Triángulo escaleno No hay lados iguales No hay ángulos iguales

¿Qué tipos de ángulos?

Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos

	Triángulo acutángulo Todos los ángulos miden menos de 90°
	Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto (90°)
	Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo mayor que 90°

Combinar los nombres

A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:

Triángulo isósceles rectángulo Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales ¿Adivinas cuánto miden?

Área

Área = ½bh

La fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h" la mides perpendicularmente a la "b".

Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno de los lados de arriba) para tener una figura de cuatro lados (que será en realidad un "paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso son dos triángulos, así que uno solo es (1/2)bh.

LONGUITUD DE ARCO

CONVERTIR ANGULOS DE GRADOS A RADIANES

CONVERTIR ANGULOS DE RADIANES A GRADOS

MEDICION DE ANGULOS EN EL 

SISTEMA CICLICO

OPERACIONES CON ANGULOS

PASAR ANGULOS DE GRADOS A

MINUTOS Y SEGUNDOS

MEDICION DE ANGULOS

EL TRANSPORTADOR

VIDEO.- ANGULOS

ANGULOS

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

Clasificación de ángulos según su medida

Agudo < 90°	Recto = 90°	Obtuso>90°
Convexo < 180°	Llano = 180°	Cóncavo > 180°
Nulo = 0º	Completo = 360°
Negativo < 0º	Mayor de 360°

Tipos de ángulos según su posición

Ángulos consecutivos

Angulos consecutivos son aquellos que tienen el vertice y un lado en comun

Ángulos adyacentes

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro.  Forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Los ángulos 1 y 3 son iguales.

Los ángulos 2 y 4 son iguales.

Clases de ángulos según su suma

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

Ángulos entre paralelas y una recta transversal

Ángulos correspondientes

Los ángulos 1 y 2 son iguales.

Ángulos alternos internos

Los ángulos 2 y 3 son iguales.

Ángulos alternos externos

                               Los ángulos 1 y 4 son iguales.

VIDEO HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA

El origen de la palabra TRIGONOMETRÍA proviene del griego "trigonos" (triángulo) y "metros" (metria).Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.