OCTAVO

      FACTORIZACION

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax^2 +bx +c:

- El primer término tiene un coeficiente mayor que 1  y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

- El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

- El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.

Procedimiento para el trinomio de la forma ax^2 +bx +c: 

-Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios,

se procede así: como ejemplo: 6x^2 -7x -3

1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado:

6(6x^2 -7x +3) = 36x^2 -6(7x) -18

2°)   Se ordena tomando en cuenta que 36x^2 = (6x)^2    y  6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera:  (6x)^2 -7(6x) -18

3°) Luego se procede a factorar  (6x)^2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°

4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio:   (6x-   )(6x+  )

5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7   y cuyo producto sea -18 ;  y esos #s  son 9  y  +2   porque:  -9 +2 = -7   y   (-9)(2) = -18 –>  =  (6x-9)(6x+2)

6°) Aquí está la variante:  Como al principio multiplicamos el trinomio por “6″, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre  ”6″

(6x-9)(6x+2) / 6   ;  como ninguno de los binomios es divisible entre “6″ entonces descomponemos el “6″ en dos factores (3  y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así:  (6x-9) / 3    y  (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así:  (2x-3)(3x+1). que sería la Solución.

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Ejemplo:

a) Factorar    20x^2 +7x -6

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente del 1° término (20):

20(20x^2 +7x -6) = 400x^2 +20(7x) -120, se ordena tomando en cuenta que 400x^2 = (20x)^2  y  20(7x) = 7(20x),

quedaría así:   (20x)^2 +7(20x) -120

>> Se factoriza  (20x)^2 +7(20x) -120, como un Caso VI

Se encuentra dos factores binomios:  (20x +  )(20x-  )

Se buscan 2 #s cuya diferencia sea 7   y cuyo producto sea -120,

y estos son:  15 y -8, porque  15 -8 = 7   y  (15)(-8) = -120  –>

la Solución parcial sería :   (20x+15)(20x-8)

>> Aplicando la Solución   (20x+15)(20x-8) para el caso VII;

Como multiplicamos el trinomio original por 20, ahora dividimos la Solución por 20:      (20x+15)(20x-8) / 20  , 

como los binomios no son divisibles entre 20; –> descomponemos el 20 en 2 #s, tal que el 1° # divida a un factor binomio y el  2° # divida al otro factor:

y éstos son:  5 y 4 porque (20x+15) / 5 = (4x+3)   y   (20x-8) / 4 = (5x-2)

–> la Solución final es:  (4x+3)(5x-2) 

TRINOMIO DE LA FORMA x² + bx + c

El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer termino es x, o sea la raiz cuadrada del primer termino.

En el primer factor, despues de x se escribe el signo del segundo termino del trinomio y en el segundo factor, despues de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio.


Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos numeros cuya suma sea el valor del segundo termino y cuyo producto sea el valor del tercer termino del trinomio.

Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos numeros cuya diferencia sea el valor del segundo termino y el producto sea el valor del tercer termino del trinomio. 

El mayor de estos numeros es el segundo termino del primer binomio y el menor es el segundo termino del segundo binomio.

El signo del primer binomio, es el signo del segundo termino del trinomio, el signo del segundo binomio es la multiplicacion de el signo del segundo y tercer termino del trinomio

EJEMPLO:  

 x² + 7x + 10 =  ( x +5)(x+2)

• El producto de x por x es igual a x²
• El producto de 5 por 2 es igual a 10 que es el tercer termino
• La suma de 5 mas 2 es igual a 7 que es el segundo termino 

EJEMPLO: 

x²+ 4x - 21 = (x + 7)(x - 3) 

• El producto de x por x es igual a x²
• La suma de (7) y (- 3) es igual a (4) que es el segundo termino
• El producto de (7 ) y (-3) es igual a (-21) que es el tercer termino

TRINOMIO CUADRADRO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCIÓN

Procedimiento:

Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto.  Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:

Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.

Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos (Caso IV).

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Ejemplo:  Factorar    x^4 +x^2y^2 +y^4

1º) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto:

raíz cuadrada de x^4 = x^2      ;     Raíz cuadrada de y^4 = y^2

el 2º  término debiera ser  2(x^2)(y^2) = 2x^2 y^2

Comparando 2º término (2x^2y^2) – (x^2y^2) = x^2y^2  lo que le falta

2º) Convirtiendo a trinomio cuadrado  perfecto, sumando la diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado, así:

x^4   +  x^2y^2  + y^4                     (Trinomio original)

.       +  x^2y^2              - x^2y^2     (sumando y restando lo que le hace falta)

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x^4 +2x^2y^2 +y^4  -x^2y^2  = (x^4 +2x^2y^2 +y^4) -x^2y^2 (resultado de convertir el trinomio)

3º) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III:

(x^4 +2x^2y^2 +y^4)  - x^2y^2 =  (x^2 + y^2)^2 – x^2y^2

4º) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV:

(x^2 + y^2)^2 – x^2y^2  = (x^2 +y^2 +xy)(x^2y^2 -xy)

Ordenado sería = (x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2) <– Solución

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EJERCICIO 96

1) Factorar a^4+a^2+1 = 

>  Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz cuadrada de a^4 = a^2     ;   raíz cuadrada de 1 = 1

El 2º término debe ser: 2(a^2)(1) =  2a^2

>  Comparando los 2ºs términos:  2a^2 – a^2 = a^2  <–lo que falta.

>  Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al 2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado):

a^4  +  a^2  + 1

.      +  a^2        -a^2

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a^4 +2a^2 + 1 -a^2  =  (a^4 +2a^2 +1) – a^2

>  Factorando el trinomio cuadrado perfecto como en el Caso III:

(a^4 +2a^2 +1) – a^2 =  (a^2 +1)^2 – a^2

>  Factorando como diferencia de cuadrados perfectos:

(a^2 +1)^2 – a^2 = (a^2 +1 +a)(a^2 +1 -a)  

ordenado quedaría así (a^2 +a+1)(a^2-a+1)  <–Solución

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2) Factorar m^4+m^2n^2+n^4 

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz^2 de  m^4 = m^2    ;   raíz^2 de n^4 = n^2

–> el 2º término debe ser: 2(m^2)(n^2) = 2m^2n^2

Comparando los 2ºs términos:  2m^2n^2 – m^2n^2 = m^2n^2 <– le falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

m^4  +   m^2n^2  +  n^4

.        +  m^2n^2              - m^2n^2

——————————————–

m^4  + 2m^2n^2 + n^4 – m^2n^2  =  (m^4+2m^2n^2) -m^2n^2

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto como Caso III

(m^4+2m^2n^2+n^4) – m^2n^2  =  (m^2 + n^2)^2  - m^2n^2

>> Factorando como Diferencia de Cuadrados ( Caso IV)

(m^2+ n^2)^2 – m^2n^2 = (m^2 +n^2 +mn)(m^2 +n^2 -mn)

ordenado quedaría así :  (m^2 +mn+n^2)(m^2 -mn+n^2) Solución

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3) Factorar x^8 +3x^4 +4

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz^2 de x^8 = x^4   ;   raíz^2 de 4 = 2

–> el 2º término debería ser :  2(x^4)(2) = 4x^4

Comparando los 2ºs términos:   4x^4  -  3x^4 = x^4  Es lo que falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

x^8 +3x^4 +4

.         x^4       -x^4

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x^8 +4x^4 +4 -x^4  =   (x^8 +4x^4 +4) -x^4

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III

(x^8 +4x^4 +4)  – x^4  =  (x^4 +2)^2  - x^4

>> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV

(x^4 +2)^2 -x^4  =  (x^4 +2 +x^2)(x^4 +2 -x^2)

ordenando quedaría así :  (x^4 +x^2 +2)(x^4 -x^2 +2)  Solución

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4) Factorar    a^4 +2a^2 +9 

>> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz^2 de a^4 = a^2     ;      raíz^2 de 9 = 3

–> el 2° término sería:  2(a^4)(3) = 6a^2

–> comparando los 2° términos :   6a^2   –   2a^2 = 4a^2  lo que falta

>> Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto:

a^4 +2a^2 +9

.      +4a^2       -4a^2

_________________

a^4 +6a^2 +9 -4a^2   =   (a^4 +6a^2 +9) – 4a^2

>> Factorando el trinomio cuadrado perfecto, como Caso III

(a^4 +6a^2 +9) -4a^2 = (a^2 +3)^2  - 4a^2

>> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos, Caso IV

(a^2 +3)^2 – 4a^2 = (a^2 +3 +2a)(a^2 +3 -2a)

ordenado quedaría así:  (a^2 +2a +3)(a^2 -2a +3)   Solución

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Ambas son respuestas aceptables.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.

Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capitulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.

Pasos:

1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.

2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

                        FACTOR COMÚN

¿Por qué se llama "Factor común"?

Por que en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común".


¿Pero qué es un "factor común"?

Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".

Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".

Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificarlo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo.


¿Una vez que identifico al "factor común", qué hago para "sacarlo"?

Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales". Por ejemplo:

4a - 8b + 6c =

Allí el factor común es 2, entonces divido todos los términos por 2.

El resultado de esa división es:

2a - 4b + 3c

(Se aplica la Propiedad distributiva de la división respecto de la suma y la resta. Más detalle sobre el procedimiento en:  EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1)


¿Hay una regla para encontrar factor común entre los números, si no puedo descubrirlo intuitivamente?

Sí. Sobre todo cuando son números grandes, nos conviene saber que el factor común que nos piden sacar entre ellos es el conocido MÁXIMO COMÚN DIVISOR o DIVISOR COMÚN MAYOR (MCD o DCM). Es el mayor número por el cual podamos dividir a todos los términos.(¿Cómo se calculaba el MCD o DCM?)


¿Por qué no puedo sacar un factor común menor que el Máximo Común Divisor?

Poder se puede, pero no es lo que nos piden que hagamos en el tema "Factoreo". Sacando como factor común a un número menor que el MCD, podemos llegar a una expresión equivalente al polinomio que estamos factorizando, pero aún sigue habiendo factor común en el resultado. No se sacó todo el factor común posible. Y en este tema nos piden que saquemos el mayor factor común posible; sino, el ejercicio estará incompleto.

En otros temas, podemos sacar factor común a conveniencia y gusto nuestro. Incluso hasta podemos sacar como "factor común" números que no están en todos los términos (porque podemos hacer una división "no entera"), siempre que lleguemos a una expresión equivalente al polinomio original. Pero no es lo que nos piden en este tema. Por ejemplo:

Si en el tema "Factoreo" me piden factorizar el siguiente polinomio, y saco factor común "2" en vez de "4":

8a - 4b + 16c + 12d = 2. (4a - 2b + 8c + 6d)

Me lo van a corregir como incorrecto. Porque no saqué todo el factor común posible, ya que el mayor factor común posible es "4" (el MCD). Y me puedo dar cuenta de eso mirando el resultado, ya que se puede apreciar que en 4a - 2b + 8c + 6d hay factor común "2" de nuevo: todos los números son divisibles por 2.


¿Y cómo saco factor común entre las letras?

Y cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor exponente con que aparecen (¿por qué?). Por ejemplo:7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = 

En todos los términos está la "x". La "x" es factor común y hay que sacarla con exponente 2, porque es el menor exponente con el que aparece en el polinomio. El factor común común es: x².7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)
Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que restar los exponentes, porque es división entre potencias de igual base (Propiedades de las potencias de igual base). Por ejemplo:

x⁵:x² = x^5-2 = x³

En este tema no se puede dividir una letra por otra con exponente mayor. Porque quedarían potencias negativas. Por ejemplo:

x² : x⁵ = x^2-5 = x^-3

Y los polinomios no pueden tener potencias negativas.

Tampoco sirve sacarla con un exponente menor todavía. Porque no estaríamos sacando todo el factor común posible, y seguiría quedando factor común dentro de la expresión. Es análogo a no sacar el Máximo Común Divisor entre los números, sino un divisor menor. Entre las letras, también estamos sacando el Máximo Común Divisor. Por ejemplo, si saco "x" en vez de "x²" en el ejemplo anterior:7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x.(7x + 11x² - 4x⁴ + 3x³  - x⁷)

Me lo van a corregir como incorrecto. Porque no saqué el mayor factor común posible. Y se puede apreciar fácilmente mirando el resultado: sigue estando la letra "x" en todos los términos, sigue habiendo factor común "x".

Para mejor ilustración sobre estas cuestiones, ver las explicaciones de los ejemplos resueltos.


¿Puedo sacar factor común sin pensar en divisiones?

En muchos ejemplos, en vez de pensar en "dividir", conviene pensar en "sacar".
Por ejemplo:

2bc + 2bm = 2b.(c + m)

En vez de pensar "2 dividido 2 dá 1", "b dividido b dá 1", etc. Pienso mejor: "a 2bc le saco 2b, queda c " y "a 2bm le saco 2b, queda m ".


¿Qué pasa si el factor común que saco es igual a uno de los términos?

Mucho cuidado con esto. Si dividimos un término por sí mismo, el resultado es "1". Y hay que ponerlo. O de lo contrario, estamos obteniendo una expresión que no es equivalente a la original, ya que le estaríamos quitando un término. Y eso se puede verificar haciendo la multiplicación (con la Propiedad Distributiva).Por ejemplo:

2ac + 2ab + 2a = 2a. (c + b + 1)

Es decir que "si sacamos todo", no es que "no queda nada". Queda el número 1, resultado de dividir algo por sí mismo. Apliquemos la Propiedad Distributiva en el resultado para verificar que es equivalente al polinomio original:

2a. (c + b + 1) = 2ac + 2bc + 2a

En cambio, si no hubiéramos puesto el "1", el resultado hubiera quedado así:

2a.(c + b)

Y si aplicamos la distributiva en ese resultado, veremos que no es igual al polinomio original, porque ¡le falta un término!:

2a.(c + b) = 2ac + 2ab


¿Hay una manera práctica de dividir a las fracciones?

Sí. Dividiendo "el de arriba por el de arriba y el de abajo por el de abajo". Así se obtiene con rapidez la fracción resultado, sin calculadora o cálculos auxiliares (Ver también en EJEMPLO 4)


¿Y qué pasa con los signos en el factoreo?

Casi siempre sacamos factor común positivo, a menos que por alguna razón necesitemos hacer lo contrario. Si sacamos factor común positivo, cada término queda con el mismo signo que tenía originalmente. Por ejemplo:

-2a + 2b - 2c - 2d = 2. (-a + b - c - d)

Y eso es porque estamos dividiendo: En cada división usamos la regla de los signos para calcular el resultado, y al dividir por un número positivo, el resultado tiene el mismo signo que el término original:

REGLA DE LOS SIGNOS:

"más por más = más"
"menos por menos = más"
"más por menos = menos"
"menos por más = menos"


¿Se puede sacar factor común negativo?

Sí, y en algunos casos es útil hacerlo, por ejemplo en el caso "Factor Común en grupos". Si sacamos factor común negativo, cada término queda con el signo contrario al que tenía originalmente. Por ejemplo:

5a - 5b - 5c + 5d = -5. (-a + b + c - d)

Si usamos la regla de los signos en cada división veremos cómo cada resultado queda con el signo contrario al del término original.

En EJEMPLO 7 se explica cómo sacar factor común negativo.

COCIENTES NOTABLES

Cociente de la suma de el cubo de dos cantidades entre la suma de estas cantidades.

Veamos la división de manera general:

El producto notable nos queda:

Y se enuncia:               el cociente de la suma del cubo de dos cantidades dividida entre                                    la suma de estas cantidades es igual al cuadrado de la primera                                    menos el producto de estas, más el cuadrado de la segunda

Ejemplos:

Cociente de la diferencia de el cubo de dos cantidades entre la diferencia de estas cantidades.

Veamos la división de manera general:

El producto notable nos queda:

Y se enuncia:               el cociente de la diferencia del cubo de dos cantidades dividida
                                   entre la diferencia de estas cantidades es igual al cuadrado de la
                                   primera más el producto de estas, más el cuadrado de la segunda

Ejemplos:

Como se ve en el último ejemplo no existe ningún problema si en vez de un factor se coloca un polinomio (esto es para cualquiera de las operaciones notables).

COCIENTES NOTABLES (generalización)

Cociente de la diferencia de potencias iguales entre la diferencia de sus bases.
La diferencia de dos potencias de exponentes iguales, ya sea pares o impares, siempre es divisible entre la diferencia de sus bases.

Como se demuestra en la división mostrada no importa que exponente sea usado el resultado siempre será exacto.
Para escribir el resultado se siguen los siguientes pasos:

1. Existirá un número de términos igual al exponente de los términos del dividendo y todos serán positivos.
2. En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la derecha de la espresión dada.
3. En el primer término el factor de la izquierda tendrá un exponente igual al de el dividendo disminuido en uno, y el factor de la izquierda tendrá un exponente de cero.
4. Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del término de la izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1)
5. Cuando el exponente del termino de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.

Ejemplos:

De la misma manera que se demuestra y trabaja este cociente se demuestran otros que simplemente resumiremos a continuación:

Suma de potencias iguales impares entre la suma de sus bases
La suma de potencias de exponentes iguales impares siempre es divisible exactamente entre la suma de sus bases.  Se estructura igual que el anterior con la siguiente diferencia en el paso uno

1. El primer factor del resultado será positivo el segundo negativo y de esta manera seguirán alternándose hasta terminar el polinomio.

Ejemplos:

Diferencia de potencias iguales pares entre la suma de sus bases
La diferencia de potencias de exponentes iguales pares siempre es divisible exactamente entre la suma de sus bases.  Se estructura exactamente igual que el anterior sin diferencias.
Ejemplos:

Es necesario hacer mención que, si tenemos una suma de potencias iguales pares nunca será divisible exactamente entre la suma de sus bases, tampoco lo será la diferencia de potencias iguales impares si se divide si se divide entre la suma de sus bases.

VIDEO.- EXPLICACION TRIANGULO DE PASCAL

El triángulo de Pascal

Una de las pautas de números más interesantes el es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés). Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo. Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1". (Aquí está remarcado que 1+3 = 4)

Pautas en el triángulo

	Diagonales La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los númerosconsecutivamente (1,2,3, etc.) La tercera diagonal son los números triangulares (La cuarta diagonal, que no hemos remarcado, son los números tetraédricos.)
Pares e impares Si usas distintos colores para los números pares e impares, obtienes un patrón igual al del Triángulo de Sierpinski
	Sumas horizontales ¿Notas algo en las sumas horizontales? ¿Hay algún patrón? ¡Es increíble! Se dobla cada vez (son las potencias de 2).
Sucesión de Fibonacci Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci. (La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)
Simetría El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda

Usar el triángulo de Pascal

Caras y cruces

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas	Resultados posibles (agrupados)	Triángulo de Pascal
1	H T	1, 1
2	HH HT TH TT	1, 2, 1
3	HHH HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT	1, 3, 3, 1
4	HHHH HHHT, HHTH, HTHH, THHH HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH HTTT, THTT, TTHT, TTTH TTTT	1, 4, 6, 4, 1
	... etc ...

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas? Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%

Combinaciones

El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.

Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?

Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560. Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:

1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   560   1820  4368  ...

Polinomios

El triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:

Potencia	Expansión polinomial	Triángulo de Pascal
2	(x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1	1, 2, 1
3	(x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1	1, 3, 3, 1
4	(x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1	1, 4, 6, 4, 1
	... etc ...

Las 15 primeras líneas

Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal

                                           1
                                        1     1
                                     1     2     1
                                  1     3     3     1
                               1     4     6     4     1
                            1     5     10    10    5     1
                         1     6     15    20    15    6     1
                      1     7     21    35    35    21    7     1
                   1     8     28    56    70    56    28    8     1
                1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
             1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
          1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
       1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
    1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1
 1    14     91   364   1001  2002  3003  3432  3003  2002  1001   364   91    14    1

Los chinos ya lo conocían Este dibujo se titula "El antiguo gráfico del método de los siete cuadrados multiplicadores". Ver imagen completa Esto es de la portada del libro de Chu Shi-Chieh "Ssu Yuan Yü Chien" (Espejo precioso de los cuatro elementos), escrito en1303 (¡hace más de 700 años!), y en el libro se dice que el triángulo ya era conocido más de dos siglos antes.

El quincunce

Esta asombrosa máquina creada por Sir Francis Galton es un triángulo de Pascal hecho con palos. Se llama quincunce. Las bolas se dejan caer sobre el primer palo y rebotan hasta abajo del triángulo donde caen en pequeños contenedores. Parece completamente aleatorio (y lo es) pero después de un rato verás que las bolas caen en un bonito patrón: la distribución normal.

VIDEO.-DEMOSTRACION GEOMETRICA PRODUCTOS NOTABLES

Productos notables

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saberfactorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

 A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a² + 2ab + b² debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)²

Nota:

Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión.

Ver: PSU; Matemática

Pregunta 12_2005

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a² – 2ab + b² debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)²

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a² – b²

Ver: PSU: Matematica,

Pregunta 15_2010

Pregunta 19_2010

Pregunta 09_2006

Otros casos de productos notable (o especiales):

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo:

Tenemos la expresión algebraica

x² + 9 x + 14

obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )

¿Cómo llegamos a la expresión?

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x²

b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:

x² + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x² + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x² + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x² – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx² + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a³ + 3a²b + 3ab² + b³debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)³.

Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a³ – 3a²b + 3ab² – b³debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)³.

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable		Expresión algebraica	Nombre
(a + b)2	=	a2 + 2ab + b2	Binomio al cuadrado
(a + b)3	=	a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	Binomio al cubo
a2 - b2	=	(a + b) (a - b)	Diferencia de cuadrados
a3 - b3	=	(a - b) (a2 + b2 + ab)	Diferencia de cubos
a3 + b3	=	(a + b) (a2 + b2 - ab)	Suma de cubos
a4 - b4	=	(a + b) (a - b) (a2 + b2)	Diferencia cuarta
(a + b + c)2	=	a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc	Trinomio al cuadrado

VIDEO PRODUCTOS NOTABLES

TEOREMA DEL RESIDUO

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo, consideremos P(x)=2x³ + x² - 3x + 5 y Q(x)=x-1. La división se realiza como sigue: 

1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.

2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.

4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.
Resto = 5 y C(x)=2x² + 3x por tanto 2x³ + x² - 3x + 5 =(x-1) (2x² + 3x) +5

VIDEO REGLA DE RUFFINI

DIVISIÓN ALGEBRAICA (polinomios)

División entre fracciones

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.

• Se aplica ley de signos

• Se multiplica el dividendo del primer termino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la division, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la division (esto se llama división cruzada)

• Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

• Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:

• Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

• Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.

• Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.

• Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

División entre polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.

• Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.

• El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.

• Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

• El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.

• Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

• Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos:

OBSERVA EL VIDEO

DIVISIÓN DE MONOMIOS:

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

axⁿ: bx^m = (a : b)x^{n − m}

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

VIDEO DE AYUDA: DIVISIÓN DE MONOMIOS:

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

5 * (2x² y³ z) = 10x² y³ z 

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base

axⁿ * bx^m = (a* b)x^{n +m}    

^{OJO: EN LA PARTE LITERAL SE APLICA LA LEY DE LA POTENCIACIÓN. MULTIPLICACION DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: SE DEJA LA MISMA BASE Y SE SUMAN LOS EXPONENTES}      

Ejemplo.   (5x² y³ z) * (2 y² z²) = 10 x² y⁵ z³  

VIDEO DE AYUDA: MULTIPLICACION DE MONOMIOS ^:    

       

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

En el siguiente link encontrarán lo referente a suma y resta de polinomios.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/polinomios-sumar-restar.html

VIDEO DE AYUDA: SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

  

Números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el 

conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto

la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de 

la recta un número real.

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación

como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma 

exacta.

Operaciones con números reales

Suma de números reales

Propiedades

1.Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

a + b  

 +   

2.Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3.Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4.Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el

mismo número.

a + 0 = a

 + 0 = 

5.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el 

cero.

e − e = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(− ) = 

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo 

más el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (- b)

Multiplicación números reales

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales

se sigue manteniendo con los números reales.

Propiedades

1.Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a · b  

2.Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son 

números reales cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(e ·  ) ·  = e · ( · )

3.Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número 

multiplicado por él da el mismo número.

a ·1 = a

 · 1 = 

5. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como

resultado el elemento unidad.

6.Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los 

productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

 · (e +  ) =  · e +  · 

7.Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la

suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

 · e + ·  =  · (e + )

La división de dos números reales se define como el producto del 

dividendo por el inverso del divisor.

Intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. 

En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y 

también pueden estar los extremos.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales 

mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x   / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números 

reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x   / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de 

todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x   / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos 

los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x  / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de 

estos intervalos, se utiliza el signo  (unión) entre ellos.

Semirrectas

Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta

 se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

x > a

(a, +∞) = {x   / a < x < +∞}

x ≥ a

[a, +∞) = {x   / a ≤ x < +∞}

x < a

(-∞, a) = {x  / -∞ < x < a}

x ≤ a

(-∞, a] = {x   / -∞ < x ≤ a}

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número 

a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2< x < 2        x  (−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2)  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| 

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se 

define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

La distancia entre −5 y 4 es:

Entornos

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por E_r(a) o E(a,r), al

intervalo abierto (a-r, a+r).

E_r(a) = (a-r, a+r)

Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.

E_r(0) = (-r, r) se expresa también |x|<0, o bien, -r < x < r.

E_r(a) = (a-r, a+r) se expresa también |x-a|<0, o bien, a -r < x < a+r.

Entornos laterales:

Por la izquierda

E_r(a^-) = (a-r, a)

Por la derecha

E_r(a⁺) = (a, a+r)

Entorno reducido

Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin 

que interese lo que ocurre en dicho punto.

E _r^*(a) = { x  (a-r, a+r), x ≠ a}

Números irracionales

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como ²²/₇ = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción), ¡no porque esté loco!

Racional o irracional

Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:

Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así

¹⁹/₂ = 9,5

así que no es irracional (es un número racional)

Aquí tienes más ejemplos:

Números	En fracción	¿Racional o irracional?
5	5/1	Racional
1,75	7/4	Racional
.001	1/1000	Racional
√2 (raíz cuadrada de 2)	?	¡Irracional!

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

Así que la raíz de 2 es un número irracional

Números irracionales famosos

	Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos: 3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
	El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son: 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
	La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son: 1,61803398874989484820... (y más...)
	Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos: √3 1,7320508075688772935274463415059 (etc) √99 9,9498743710661995473447982100121 (etc) Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Historia de los números irracionales

Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!